一、数量思维

a. 选项关联：注意观察选项之间的倍数关系

b. 代入排除：

应用范围：多位数范围、不定方程问题、同余问题、年龄问题、周期问题、复杂行程问题、和差倍比问题

优先代入整数选项

c. 整除思想：必须将题目式子转化成 A=B*C 两两相乘的形式整除判定法则：拆分法 517=470＋47

因式分解 6=2*3

常用的 2、3、5、7、11、13 整除判定法则

d. 特值思想 ：

数字特值：题目没有具体数字，只有相互比例关系等，常用于计算题、浓度问题、工程问题、行程问题

数字特值计算题优先考虑-1,0,1，工程与行程等问题优先考虑最小公倍数图形特值：比如特殊的长方形——正方形

e. 奇偶特性：题目中出现平均、总和、差，尤其是不定方程的时候

奇偶判定：

加减运算：同奇同偶比得偶，一奇一偶只能奇乘除运算：一偶就是偶，双奇才是奇

二、常见题型计算问题：

常用的计算公式：

1、完全平方、平方差

完全平方：

平方差：

2、完全立方、立方和差

完全立方：

立方和差：

3、阶乘：

常用方法：公式法，记住常用的公式

因子法（整除特性结合）

放缩法（用于判定计算的整数部分） 构造法

特值法

等差数列：通项公式：

求和公式：

等差中项：

等比数列：通项公式：

求和公式：

等比中项：

周期问题：

a. 周期与余数相结合（日期问题）：找到最小公倍数（周期）

1 周 7 天，5 个工作日，平均 365 天（52 周+1 天），闰年 366 天（52 周+2 天）

大月 31 天，小月 30 天，平月（2 月）28 或 29 天

b. 周期与工程、行程结合：将特值法与周期问题结合

行程问题：

路程=速度*时间

路程一定，速度与时间成反比速度一定，路程与时间成正比时间一定，路程与速度成正比

相遇追及问题：

相遇问题：相遇距离=（大速度+小速度）×相遇时间

追及问题：追及距离=（大速度-小速度）×追及时间

环形运动：

反向运动：第N 次相遇路程和为 N 个周长，环形周长=（大速度+小速度）×相遇时间同向运动：第N 次相遇路程差为 N 个周长，环形周长=（大速度-小速度）×相遇时间

多次相遇问题：

同一点出发：第N 次迎面相遇，路程和=全程×2N；第 N 次追上相遇，路程差=全程×2N

左右点出发：第 N 次迎面相遇，路程和=全程×（2N-1）；第 N 次追上相遇，路程差=全程×

（2N-1）。

每个人所走路程=第一次相遇路程×（2N-1）

流水行船、电梯问题：

流水行船：顺水速度=船速＋水速

逆水速度=船速－水速

船速=（顺水速度＋逆水速度）÷2 水速=（顺水速度－逆水速度）÷2

电梯：人梯同向：扶梯可见=人走距离＋梯走速度人梯相向：扶梯可见=人走距离－梯走速度

钟表问题：

基本常识：设时钟一圈总路程为 12 格，时钟每小时走 1 格，分钟每小时走 12 格

时钟一昼夜转 2 圈，1 小时转 1/12 圈；分钟一昼夜转 24 圈,1 小时转 1 圈钟面每 2 格之间 30 度

追及型：T=T0＋ 1 T0

11

坏钟型：比例问题，抓住“标准比”

工程问题：

工作总量=工作时间×工作效率

工作总量一定，效率与时间成反比工作时间一定，总量与效率成正比工作效率一定，总量与时间成正比

多人合作问题：设工作总量为特值（完成工作所需时间或工作效率的最小公倍数） 求各自的效率或者时间

求题目所问

轮流工作问题：计算每人的工作效率，得到一个周期的工作量

做除法，看工作总量包含几个周期的工作量，还剩余多少工作量分析剩余工作量，得出最终答案

浓度问题：

溶液的质量=溶质的质量＋溶剂的质量浓度=溶质质量÷溶液质量

溶液质量=溶质质量÷浓度溶质质量=溶液质量×浓度

常用方法：十字交叉、不变量、比例、赋值、调和平均数

反复操作型：先看第一次，抓住不变量

容斥原理： 两集合问题：

标准型：满足条件Ⅰ的个数＋满足条件Ⅱ的个数－两者都满足的个数=总个数－两者都不满足的个数

标数型：题目提及“只满足某 1 个条件”的数目，用简洁的“文氏图”标数

图示标数的关键是：从最中间“两个条件都满足”的数字入手

三集合问题：

标准型：|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| + |A∩B∩C|=总数－三个都不非标准型:A＋B＋C－只满足两个条件－2×满足三个条件=总数－三个都不满足

题目出现“（只）满足两个条件”，一般用非标准型

利润问题：

利润率=利润÷成本=（售价－成本）÷成本总利润=单利润×件数=总收入－总成本

常用方法：方程、比例折扣

分段计算：水费电费、纳税金额、出租车乘车费等

排列组合与概率： 排列组合：

加法原理（分类） 乘法原理（分步）

排列与数序有关，组合与顺序无关几大模型：n 人站一排

相邻问题 捆绑法

不能相邻 插空法

圆桌型 （n－1）排列

错位排列：记住 D1=0，D2=1，D3=2，D4=9，D5=44

一般都是停车位的问题，主要记 4 和 5

遇到带图形的采用标数的方法

概率问题：某事发生的概率=满足条件情况/总的情况某事发生的概率=1－不发生的概率

构造问题：

至少……保证…… 最不利＋1

都……至少…… 反向、加和、做差

最多，最少 排序、反向找数列，求方程几何问题：

立体几何：

基础公式：表面积 正方体：6×单面面积

长方体：2×（前＋上＋侧） 球体：

圆柱体：

体积：长方体：abc

球体：

圆柱体：

锥体：

几何重构：数个数：整体涂－内部没涂=至少一面涂

挖部分：原体积－挖掉的体积

长短线：勾股定理

平面几何：割补法

平移法

几何极限理论：平面中，周长一定，面积越大越靠近圆

立体中，表面积一定，体积越大越靠近球

方程问题：

定方程：一个方程、一个未知量

定方程组：特征：多个方程、多个未知量；未知量个数等于方程个数

方法：带入消元，加减消元

不定方程：特征：一个方程、多个未知量；求某个未知量的值

方法：带入排除、数字特性

不定方程组：特征：多个方程、多个未知量；未知量的个数多余方程个数；求一个整体的值

方法：赋零法、整体代入法

最值问题：

最不利构造：特征：至少……保证 N 个相同的……

方法：最不利情况＋1

构造数列：特征：最多（少）……最多（少）……；排名第……最多（少）……

方法：排序、定位、构造、加和、求解

核心：若求至多为多少，则其他量尽量小，从小到大构造数列

若求至少为多少，则其他量尽量大，从大到小构造数列

计算结果非整数时：求至少的，向上取整；求至多的，向下取整

多集合反向构造：特征：都……至少……

方法：反向、加和、做差

二次函数最值：特征：列出计算式为一元二次方程

方法：配方法、求导法、不等式法

二、杂题模块

年龄问题：每人每年长一岁，核心是年龄差不变

和差倍比：和倍：和/（倍数＋1）=基倍量

差倍：差/（倍数－1）=基倍量

和差问题：大数=（和＋差）/2，小数=（和－差）/2

比例问题：分量/总量=所占比例，分量/所占比例=总量，分量=总量*所占比例

不定方程（组）：不定方程：奇偶特性→因子分析→尾数判定→赋值验证

不定方程组：整体分析法——凑整；赋 0 法简化计算；数字特性法

时间问题：平年、闰年：平年 365 天、闰年 366 天

判别法则：非世纪年整除 4 为闰年，世纪年整除 400 为闰年

大月、小月：大月（31 天）1,3,5,7,8,10,12 月

小月（30 天）4,6,9，11 月

2 月：平年 28 天，闰年 29 天

钟表问题：速度：时针每分钟走 0.5 度，分钟每分钟走 6 度，两者每分钟差 5.5 度

直角：时针与分钟每小时垂直 2 次，每天垂直 44 次

重合：每小时 1 次，每天 22 次

180 度：每小时 1 次，每天 22 次

比赛问题：淘汰赛：每比赛一场淘汰一个队伍

单循环赛：任意两个队伍比赛一场

N 个队伍比赛场次C2

双循环赛：任意两个队伍比赛两场

N 个队伍比赛场次A2

牛吃草问题：草的原有总量=（牛数－草长）*时间

引申：原总=（快－慢）*时间

常用方程或方程组来解

青蛙跳井：问题：青蛙在h 米深的井底，白天向上爬 a 米，夜晚向下滑 b 米，问几天爬出去

h - a

公式：

空瓶换酒问题：

a - b

+ 1

每 N 个空瓶子能换 1 瓶酒，一共有 M 个空瓶，那么一共可以换 M/（N－1）瓶酒

赋值法：赋每瓶酒价格为N 元，则空瓶子 1 元，酒N－1 元，再计算

爬楼问题：从地面爬到N 层，共爬了 N－1 层楼梯

从 M 层爬到 N 层，共爬了 N－M 层楼梯

植树问题：单边植树：线性植树：总数=路长/间隔＋1

环形植树：总数=路长/间隔

楼间植树：总数=路长/间隔－1

双边植树：单边基础上*2

方阵问题：最外圈人数=4×（边长－1）

总人数=边长 2=（最外圈人数÷4＋1）2

相邻两圈相差为 8

余数问题：余同加余、和同加和、差同减差

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